‘요일의 문제’는 수학의 잉여류를 바탕으로 하고 있다. 즉 요일은 1주간이라는 주기성을 가지고 있으므로 7로 나눈 나머지가 같은 것을 같은 그룹으로 간주하는 사고방식인 것이다. 따라서 나머지를 구하는 것에 의해 매달 요일의 차이나 매년 요일의 차이를 알 수 있는 것이다. 예를 들면 ‘어떤 해의 첫 날이 일요일이었을 때 2월 1일은 무슨 요일인가?’ 라는 경우는 1월의 일수 31을 7로 나누면 된다. 31÷7=4 … 3 즉, 이 나머지 ‘3’이 ‘3일 차이로 수요일이 되는’것을 의미하고 있다. 3월 1일의 요일은 물론 평년과 윤년이 다르게 된다. 평년의 경우는 28÷7=4로 요일은 차이가 없지만, 윤년의 경우 2월은 29일 있으므로 1일 차이로 목요일이 되는 것이다. 윤년이 없는 경우 다음 해의 첫째 날은 365÷7=52 … 1 즉, 이 나머지 ‘1’이 ‘1일 차이로 월요일이 되는’것을 의미하고, 윤년이면 2일 차이이므로 화요일이 되는 것이다. 따라서 요일의 차이에 관해 다음과 같이 정리할 수 있다.

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Ⅰ. 각 월의 요일의 차이는 그 월의 일수를 7로 나눈다. 그 때의 나머지가 뒤에 차이나는 일수

Ⅱ. 각 해의 요일의 차이는 그 해의 일수를 7로 나눈다. 그 때의 나머지가 뒤에 차이나는 일수

<예제 1>

초등학교 1학년부터 5학년까지 각 학년 1명씩 5명의 아이 A~E가 모여 있다. 다음의 ㉠~㉣을 알 수 있을 때 3학년생은 누구인가? (단, 태어난 날은 전원 같은 것으로 한다.)

●보 기

㉠ A가 태어난 해의 2월 1일은 금요일이고, 3월 1일은 토요일이었다.

㉡ B가 태어난 해의 12월 31일은 토요일이었다.

㉢ C와 A는 한 살 차이다.

㉣ D가 태어난 해의 목요일과 금요일은 53회였다.

① A ② B ③ C ④ D ⑤ E

<해설>

① 조건 ㉠에서 2월부터 3월의 요일의 차이는 1, 따라서 2월은 29일이었던 것이 되고 A가 태어난 해는 윤년임을 알 수 있다.

② 조건 ㉣의 의미를 생각해 보면, 평년의 경우 365÷7=52…1이므로 대부분의 요일은 1년간 52회지만 예를 들면 설날이 목요일인 경우는 12월 31일은 목요일(다음해의 설날이 금요일이므로)로 이 경우는 53회인 것이다. 그러나 금요일은 역시 52회밖에 없다. 따라서 ㉣과 같은 상황이 되는 것은 윤년의 경우이다.

③ 조건 ㉠으로부터 A가 태어난 해의 설날은 화요일. 조건 ㉡으로부터 B가 태어난 해의 설날은(다음 해의 설날이 일요일이므로) 토요일. 또 해설 ②로부터 D가 태어난 해의 설날은 목요일.

④ D가 5학년생일 때 그 해로부터 5년간의 설날의 요일은, 목요일→토요일→일요일→월요일→화요일. 따라서 5학년: D, 4학년: B, 3학년: E, 2학년: C, 1학년: A로 결정된다.

정답 : ⑤

<예제 2>

다음은 학생 수가 50명인 어느 학급 학생들의 생일을 조사한 결과다. 이들 중 항상 참인 명제를 모두 고르면?

(가) 생일이 5명 이상인 달이 있다.

(나) 모든 달에 생일이 있다.

(다) 생일이 8명 이상인 요일이 있다.

(라) 생일이 같은 학생이 존재한다.

① (나), (라) ② (다), (라) ③ (가), (다) ④ (가), (나) ⑤ (가), (나), (다)

<해설>

학생 수가 50명이므로 12개월로 나누면 몫이 4이고 나머지가 2이다. 즉 모든 학생의 생일이 고루 분포돼 있다고 가정해도 최소한 1회 이상은 5명 이상의 학생이 같은 달에 생일을 맞게 된다. 따라서 (가)는 항상 참이다. (다)의 경우 50을 7로 나누면 몫이 7이고 나머지가 1이다. 따라서 모든 학생의 생일이 고루 분포돼 있다고 가정해도 최소한 1회는 8명일 때가 있으므로 항상 참이다.

정답: ③

이승일 에듀 PSAT 연구소장